lorsque les produits np et nq sont supérieurs à 15 ou 20. Dans ce cas, on approchera la loi B( n,p) par
la loi normale de même espérance et de même écart-type, soit N( np, npq )
De même on pourra remplacer la loi de Poisson P( m) par une loi normale N( m, m ) dès que m est
supérieur à 15 ou 20. Exemple : on estime que la probabilité pour qu’une graine ait perdu son pouvoir germinatif après 3 ans de conservation est de 70%. Sur un échantillon de 100 graines conservées depuis 3 ans quelle est la probabilité pour que moins de 25 germent ? Notons p la probabilité qu’une graine germe :p= 0,3 et considérons que l’échantillon est indépendant. Notons X la v.a. « nombre de graines qui germent parmi les 100 ». X suit la loi B(100 ; 0,3) et on cherche : P(X<25) qui peut s’écrire aussi P(X ≤24) = p 0 + p 1 + ….+p 24
avec pk= k k , , k
−
100 7 0 3 0 100
Le calcul exact est trop fastidieux pour être fait à la main. On peut alors :
soit utiliser un logiciel, par exemple la fonction d’Excel=LOI.BINOMIALE(24;100;0,3;1) qui donne P(X≤24) = 0,114
soit calculer une valeur approchée en remplaçant cette loi binômiale par une loi normale. C’est possible car les produits np et nq sont assez grands ( resp. 30 et 70). Les paramètres de cette loi seront :
o m = np = 30
o σ = npq = 7 0 3 0 100 , , ∗ ∗ = 4,5826
La variable aléatoire discrète X B(100 ;0,3) sera alors remplacée par la variable continue :
X
c N(30 ; 4,5826)
Un problème se pose alors : faut-il calculer P(X c<25) ou P(X c≤ 24) ? Pour une variable continue, ces
valeurs ne sont pas identiques… La meilleure approximation sera obtenue en prenant la valeur intermédiaire 24,5. C’est ce qu’on appelle la « correction de continuité ». Voir la justifcation page suivante.
P(X<25) = P(X≤24) ≅ P(Xc≤24,5) = Π
−
5826 4
30 5 24
, , = Π(-1,20)= 1 – Π(1,20)= 1-0,885 = 0,115
On peut constater que ceci fournit une excellente approximation de la vraie valeur puisque l’erreur est de l’ordre du millième.
Bibliographie :::: http://neumann.hec.ca/~p240/c162096/documents/NotesLoiNormale1x1.pdf http://www.astro.ulg.ac.be/cours/magain/stat/stat52.html http://www.astro.ulg.ac.be/cours/magain/stat/stat51.html http://www.up.univ-mrs.fr/veronis/cours/INFZ16/index.html?http://www.up.univ-mrs.fr/veronis/cours/INFZ16/ch6.html