normalite des residus

NORMALITE DES RESIDUS1. Introduction Une grande partie de l’inférence statistique (test, intervalle de confiance, etc.) repose sur l’hypothèse de distribution normale

) , 0 (

2

 N

du terme d’erreur. Vérifier cette hypothèse semble incontournable pour obtenir des résultats exacts. Nous disposons des erreurs observées i^e , les résidus de la régression, pour évaluer les caractéristiques des erreurs théoriques

i

 . Il semble néanmoins que les tests usuels restent valables, pour peu que l’on ait suffisamment d’observations (n>50). Nous pouvons vérifier l’hypothèse de normalité en utilisant des méthodes graphiques ou des tests. Nous citons la droite de Henry (Graphique Q-Q plot) pour la première approche et les tests de Jarque-Bera et Shapiro-Wilk 2. Graphique Q-Q plot Il ne s’agit pas d’un test au sens statistique du terme. Le graphique Q-Q plot (quantile-quantile plot) est un graphique « nuage de points » qui vise à confronter les quantiles de la distribution empirique et les quantiles d’une

1

distribution théorique normale, de moyenne et d’écart type estimés sur les valeurs observées. Si la distribution est compatible avec la loi normale, les points forment une droite. Dans la littérature francophone, ce dispositif est appelé Droite de Henry. a) Trier les résidus i^e de manière croissante, ce sont les quantiles observés. b) Produire la fonction de répartition empirique, lissée en accord avec la loi normale

i

F c) Calculer les quantiles théoriques normalisées i^z en utilisant la fonction inverse de la loi normale centrée réduite. d) En déduire les quantiles théoriques dé-normalisées

i e i

z e

i

^

*  

. Si la distribution empirique cadre parfaitement avec la loi normale, les points

) , (

i i ^e

e

devraient être alignés sur la diagonale principale. Ici,







n

i

i e e

n

i

1

2

^ 1



Bien souvent, on peut se contenter de ce diagnostic. Nous réagissons uniquement si l’écart avec la normalité est très marqué. Néanmoins, nous

2

pouvons consolider les conclusions en s’appuyant sur les tests de normalité. Nous citons quelques tests 3 Tests sur les résidus3.1. Test de Jarque-Bera Le coefficient de Skewness (Skew) ou coefficient d’asymétrie est une mesure de l’asymétrie de la distribution de la série autour de sa moyenne. Le Skewness est calculé de la manière suivanteSkew =

2 / 3

1

2 1

1

3 1

) ( ) (          







 



 

n

i i

n

i i

Y Y nY Y n

=

) / 6 N(0, ~ 3 3 n  

– Le coefficient de Kurtosis (Kur) ou coefficient d’aplatissement est une mesure de l’aplatissement de la distribution de la série. Le Kurtosis est calculé de la manière suivante

2

1

2 1

1

4 1

) ( ) (       







 



 

n

i i

n

i i

Y Y nY Y nKur

=

) / 24 N(3, ~ 2 2

4 n

 

Le Test de Jarque-Bera permet de savoir si la série est normalement distribuée. Il est basé sur la statistique JB qui est calculé par

3

 

 



 

     4

3

6

2

2 K u r Skew k n JB

où k représente le nombre de coefficients estimés du modèle. Sous l’hypothèse nulle de normalité, on a asymptotiquement

2

) 2 ( ~  J B

Règle de décision Si

) ( 2

) 2 (    JB

alors l’hypothèse nulle de normalité est rejetée au seuil de  Si la p-value <  alors on rejette

0

H de normalité des résidus au seuil de  .3.2. Test de Shapiro-Wilk Très populaire, le test de Shapiro-Wilk est basé sur la statistique W. En comparaison des autres tests, il est particulièrement puissant pour les petits effectifs

) 50 (  n

. La statistique du test s’écrit :

 









 

    

i

i

n

i

i i n i

x xx x aW

2

)(

2 2/

1

)( )1 (

) _ ( ) _ (

Où _ x(i) correspond à la série des données triées ; _ [n/2 ] est la partie entière du rapport n/2 ;

4